中國古代數學家程大位的故事,被譽為“珠算一代宗師”
2019-06-18 19:12:24  來源:NET1640

程大位(1533—1606)是中國古代數學家,字汝思,號賓渠,安徽省休寧縣(今黃山市)人。其故居至今尚存。

程大位出身小商,自幼聰明好學,尤其喜愛數學,常不惜重金購求算書。 20歲左右時,他利用外出經商的機會,邀游吳楚,遍訪名師,遇有“睿通數學者,輒造請問難,孜孜不倦”。他身居小縣城,對土地測量十分重視,曾創造“丈量步車”,并繪圖傳世。程大位40歲以后,倦于外游,便“歸而覃思于率水之上余二十年”。他認真鉆研古籍,繹其文義,審其成法,遍取各家之長,加上自己的心得體會,終于在萬歷二十年(1592)寫成《算法統宗》(原名《直指算法統宗》)17卷。其后6年(1598),又對該書刪其繁撫,揭其要領,寫成《算法纂要》4卷,先后在休寧刊行。

《算法統宗》中,第一、二卷是全書所用的基本知識;第3到12卷為各種應用題解法匯編,各卷基本上以《九章算術》的章名為標題;第13卷到16卷為“難題”,其實算法都很簡單,只是條件用詩歌表達;比較隱晦;第17卷為“雜法”。書中各類問題都用珠算,程大位所使用的一套簡明順口的珠算加減乘除口訣及開方方法,一直沿用至今。該書系統總結了我國的珠算法,成為一部比較完備的珠算書。它的成書及廣泛流傳,標志著我國數學史上由籌算向珠算轉化的完成,程大位本人也因此被譽為“珠算一代宗師”。

中國古代數學家程大位的故事,被譽為“珠算一代宗師”

明末思想家徐光啟曾指出,明代數學落后的原因有兩個,一個是“名理之儒土苴天下之實事”,另一個是“妖妄之術謬言數有神理。”程大位作為數學家,卻與哪些“名理之儒”的觀點不同,他十分重視實事,重視數學的應用。他的《算法統宗》之,所以能“風行宇內”,使“海內握算持籌之士,莫不家藏一編”,是與它的實用性分不開的。

(一)重視數學應用

程大位認為數學有廣泛的用處,他說:“遠而天地之高廣,近而山川之浩衍;大而朝廷軍國之需,小而民生日用之費,皆莫能外。”吳繼綏在《算法統宗》序中也引用過他說的話:“多算勝少算不勝而況于無算乎?”在程大位看來,數學是社會也是人生不可缺少的。他在《算法統宗》中開宗明義,以詩歌形式寫道:“世間六藝任紛壇,算乃人之根本;知書不知算法,如臨暗室昏昏。”這與當時的理學家們反對經世致用的學問和輕視數學的態度形成了鮮明對照。當時盛行的八股取士制,是“以四書五經命題,八股文章取士”的,它引導知識分子遠離自然科學,嚴重束縛了知識分子的思想。許多讀書人為了功名,埋頭于儒家經典,只會奢談三綱五常之類的封建倫理,哪里還顧得上數學和其他有實用價值的科學技術呢?程大位卻能突破儒家思想的束縛,中年以后全力寫作《算法統宗》。以解決當時社會急需的實際問題,這種精神是十分可貴的。

不僅如此,程大位還敢于針對時弊,秉筆直書、從數學的角度揭露了貪官污吏對人民的愚弄。卷三的“畝法論”便表現了這種思想,文中說:“萬歷九年遵詔清丈,敝邑(休寧)總書擅變畝法,田分四等,上則一百九十步,中則二百二十步,下則二百六十步,下下則三百步。……與前賢二百四十步一畝大相繆皮,借日土田有肥磽,征役有輕重,亦宜就土田高下。別米麥之多寡、不得輕變畝法。第總書開其弊竇,舉邑業已遵行,何容置喙!姑記之此,以見作聰明亂舊章之自云。”顯然,這種以“土地肥撓”和“征役輕重”來確定田畝單位的作法是十分荒唐的。其目的無非是渾水摸魚,敲詐百姓。這段話的字里行間,流露出一位正直數學家對人民的深切同情。

綜觀《算法統宗》全書,作者是十分重視數學應用的。595道題中,絕大部分是密切結合人民生活的應用問題。開方、勾股等方面有些純數學問題,也是為應用題作準備的。在應用問題中,包括田畝測量、交通運輸、物資分配、容積計算、稅收貿易、工程技術等。題目分類基本上沿襲《九章算術》,但在體例上與《九章算術》有一點明顯的不同,就是首先列舉了學習全書所需的基本知識,包括算法提綱、大數、小數、度量衡、田畝測量制、珠算定位法、珠算四則運算口訣等。這就使該書不僅內容豐富,而且便于自學,成為一本良好的數學入門書。

(二)改進珠算法

《算法統宗》的另一特點是大部分題采用珠算,這也體現廠作者著眼于應用的精神。珠算盤是一種構造簡單、價格低廉、容易攜帶的計算工具。珠算與籌算相比,運算更為方便、迅速。但當時的珠算方法還不夠完善,有的口訣也不夠順暢,于是程大位便花大力氣改進珠算法及珠算口訣。他為了區別乘除法口訣,在卷一明確規定:“九九合數”應“呼小數在上,大數在下”,“九歸歌”應“呼大數在上,小數在下”。例如“六八四十八”是乘法口訣,“八六七十四”是除法口訣。書中記載著完整的撞歸口訣,如“一歸:見一無除作九一,起一下還一”;“二歸,見二無除作九二,起一下還二”等等。第六、七卷中,程大位還給出珠算開平、立方的方法。雖不能肯定這是他的發明,但該書確是最早記載這種方法的古算書之一。(成書稍早于《算法統宗》而出版稍晚的朱載培《算學新說》中也有珠算開平、立方法。)書中的珠算定位法則應歸功于程大位,因為當時流行的珠算書中都未提到。吳敬的《九章算法比類大全》中雖有定位法,但他是用于籌算。首次完整地敘述珠算定位法的是《算法統宗》中的“定位總歌”:

“數家定位法為奇, 因乘俱向下位推。

加減只需認本位, 歸與歸除上位施。

法多原實逆上數, 法前得零順下宜。

法少原實降下數, 法前得零逆上知。”

程大位十分重視珠算口訣,他認為口訣是學珠算、用珠算的基礎,一定要記熟。他反復強調:“一要熟讀九歌,二要誦歸除歌法”,“學算之人須努力,先將九數時時習。”

(三)補充面積公式

在用珠算法解決的各種實際問題中,特別引人注目的是面積問題。對于廣大農村來說,田畝測量是不可缺少的,所以程大位十分重視面積問題。在《算法統宗》卷三“方田”中,他結合田畝測量總結出大量面積公式,并編成歌謠,給出圖形。這一卷所繪圖形60余種,其中比較基本的有十幾種,其他都是由這些圖形割補而成的。這十幾種圖形中,一些是《九章算術》中已有公式的,如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圓田(圓形)、弧田(弓形)等,另一些圖形則是《九章算術》中沒有的,程大位分別給出公式。例如梭

形田(菱形)面積公式為:

(其中為對角線)。

眉形田(兩相交圓的公共部分,如圖1)面積公式為:

后者是一個近似公式。對于欖形田、牛

角田(見圖2、圖3)等不同形狀的田地,

程大位分別總結出便于應用的計算公

式。對于較復雜的圖形,程大位則采用

“截法”將其分為幾個簡單的圖形來計

算。例如,他將四不等田截成兩個直角

三角形及一個矩形,將三廣田截成兩個

梯形(見圖4、圖5),等等。即使是《九章算術》

中原有的圖形,程大位也注意從實際應用出發,總結出更加簡便的公式。他給出求等邊三角形面積的近似公式:

(其中為邊長),

又給出對角線為,兩鄰邊之和為的矩形面積公式:

后者顯然是一個精確公式。在題設條件下,用此公式求面積比先列出二次方程來求邊長的方法簡便得多。

對于計算結果、程大位既要求盡可能準確,又主張根據—體情況適可而止。例如《五曹算經》中的“四不等團”面積公為:

其誤差隨形而定。越接近矩形越準確,反之誤差就越大。程大位不用舊法而創立“截法”、就是為了計算結果的準確。他說:“遇歪斜不等,必有斜步,豈可作正步相乘?若截之,庶無誤矣。”對于更加復雜的圖形,只用“截法”還不行,程大位便采用“截盈補虛”的方法,他說:“田之形狀甚多,具載難盡,學者不必執泥,在于臨場機變,必須截盈補虛,卑尖減大,以合規式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形,另積旁余,并而于一,然后用法乘除之,用少廣章開方等法還原,始為精密之術焉。”但他對準確性的要求是有限度的,因為他著眼于應用。他指出:“世之習算者,咸以方五斜七、圍三徑一為準,殊不知方五則斜七有奇,徑一則圍三有奇”,可見他知道有更準確的比值,但他認為不一定使用,因為:數多則散漫難收”,即精確的數據位數多,計算起采太復雜,這在實際應用中往往是沒有必要的。

(四)創造丈量步車

為了適應當時測量田畝的需

要,程大位還創造了一種丈量步

車,在《算法統宗》中繪有圖形

并有詳細解說;這種測量工具類似于現在的卷尺,由環、十字架、轉軸、鎖、鉆角及纏在十字架內的竹尺(薄竹片制成的尺)構成,如圖6。這在當時是一種很先進的測量工具。程大位對自己的發明十分得意,在圖邊自題:“賓渠制造心機巧,隸首傳來數學精。”

(五)寓算題于詩詞

除了《算法統宗》的內容以外,我們從它的文字形式上也可以看出作者重視數學的應用與普及的思想。全書文字分為敘述性文字、詩詞歌訣及圖表中的文字三種形式,而詩詞貫穿全書,占了相當大的比例。這些詩詞,既是優美的文學作品,又是直接為數學服務的。例如“留頭乘”的歌訣是一首七絕:“下乘之法此為真,起于先將第二因,三四五來乘遍了,卻將本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用來命題:“群羊一百四十,剪毛不憚勤勞,群中有母有羊羔,先剪二毛比較。大羊剪毛斤二,一十二兩羔毛,百五十斤是根苗,子母各該多少?”這些詩詞淺明易懂,生動有趣,使讀者在學習珠算的過程中同時得到美的享受。再如盈肋章用來命題的一首五律:“今攜一壺酒,游春郊外走。逢朋添一倍,入店飲斗九。相逢三處店,飲盡壺中酒。試問能算士,如何知原有?”此詩不僅朗朗上口,而且具有濃厚的生活氣息。讀罷全詩,仿佛在眼前展現出一幅情趣盎然的攜酒春游圖。這種大眾化的生動詩歌,無疑會引起讀者的興趣。《算法統宗》寓算題于詩詞,賦予數學書以文學色彩,其普及數學的效果是顯而易見的。人們在愉快地欣賞這些詩詞的同時,也就開始了對數學的理解。《算法統宗》成為明清兩代流傳最廣泛的算書,甚至能超越國度,受到日本、朝鮮和東南亞各國人民的歡迎,其引人入勝的文字無疑是原因之一。

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